值域
求值域、范围，最值是高中数学用处最广泛的，小到自成题目，大到决定大题目能否继续。
最重要的想法就是：想方设法把 $x$ 消除。
方法：
- 换元法：利用 $\sin^2x+\cos^2x=1$。
- 如何画分式图像，以及性质
- 判别式法：
- 不等式放缩法：常用 $a^2+b^2\geq 2ab,ab\leq \frac{a^2+b^2}{2},ab\leq (\frac{a+b}{2})^2,\\\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\geq \frac{(x+y)^2}{a+b},(a+b)(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b})\geq {(x+y)^2}$, ，前三个等号在 $a=b$ 取到，后两个等号在 $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$ 取到
- 绝对值
- 三角分式
想法：
- 三角换元，整体换元，我们常常会换：分母，“丑陋”的整体
- 特点是结构明显，形如 $\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}$.
- 最常见于三角形和解析几何类题目， $\frac{t\sqrt{t^2+1}}{4t^2+1}$
- 还有很多难以陈述的，正如先前举的例子一般。
- 如何求一个带三角函数的表达式的值域
- 更进一步，如果带对数指数又该怎么处理
解决题目：
- （2008）已知函数 $y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$ 最大值为 $M$，最小值为 $m$，求 $\frac{m}{M}$的值
- 这里根号里面和是定值 $4$，所以会很自然的想到三角换元。令 $\sqrt{1-x}=2\sin t,\sqrt{x+3}=2\cos t$，这里系数 $2$ 是因为和是定值 $4$. 换元后记得范围，两个两个根号都有大于等于0的性质，因此分别有 $t\in[0,\pi], t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，⇒ $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$⇒ $y=2\sin t+2\cos t= 2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin t+\sin \frac{\pi}{4}\cos t)=2\sqrt{2}\sin(t+\frac{\pi}{4})\in[2,2\sqrt{2}]$
- 这里看到两个根号，我们也希望能去掉根号，因此有 $y^2=(\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3})^2=4+2\sqrt{(1-x)(x+3)}\geq 0$，因为末尾那个根号大于等于0，于是我们就得到了最小值，最大值我们只需要考虑根号里面作为二次函数的范围，注意 $x$ 是有范围的 $[-3,1]$，这样最大值就有了，（最小值也可以通过考虑后面那个二次函数）
- 求 $\frac{t\sqrt{t^2+1}}{4t^2+1},\frac{\sqrt{t}}{t+1}$ 的最大值
- 第一个想法是换元，优点是可以很快进行，缺点是难以看到后面的步骤。不管分子如何，应该最先想到换分母， $4t^2+1=m$， 然后得到一个关于 $m$ 的表达式，再把分母的 $m$ 除进根号里（ 这也是分母换元最重要的目的 **），得到一个二次函数，就可以求出范围。
- 第二个想法是不等式，优点是容易看到后面的步骤，有一个能否进行的心理准备，缺点是需要更多经验和想法。希望分子得到的是平方的和，但是和分母依然有 $2t^2$ 的差距，这里常数已经合理，所以根号里面不需要动，只需要给 $t$ 配一个 $\sqrt{3}$，这样就能多 $2t^2$，因此我们有 $\frac{t\sqrt{t^2+1}}{4t^2+1}=\frac{\sqrt{3}t\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{3}(4t^2+1)}\leq \frac{\frac{3t^2+t^2+1}{2}}{\sqrt{3}(4t^2+1)}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$